有理数と実数

2017/10/07

 有理数と実数の関係があるとき、とてもよくできていると感じました。

それを意識したのは大学には入って、高校の関数の連続性を見直してからです。

たとえば、指数関数の定義を考えても y=2^x,  Xが有理数まではうまく定義

しても、実数のときは Xに収束する有理数列をとり、その極限として定義してい

たりします。


関数方程式 F(a+b)=F(a) +F(b),  a,b  すべての実数

Y=F(X) に連続性を仮定すれば F(X)=mX というきれいな結果がでます。

その元になるのが有理数の集合Qが基本的な体で、単純な代数構造を

もち、実数の集合Rの中で稠密であることがあります。


つまり、連続性を考えるとき、やっかいなR全体の話をあつかいやすい

有理数のはなしで済ますことができることのありがたさでしょうか。

蛇足として、上の関数方程式のことを詳しく書くと

a=b ,F(a+b)=F(a) +F(b),  F(2a)=F(a+a)=F(a) +F(a)=2F(a)

帰納的に F(na)=nF(a), 同様に F(1)=F((1/n)n)=nF(1/n)

F(1/n)=(1/n)F(1), これから

 F(m/n)=(m/n)F1), F(1)=C  X=m/nとおくと

F(X)=CX, Xは有理数